Distributionen als Lösungen von Anfangswertproblemen

Diplomarbeit aus dem Jahr 2005 im Fachbereich Mathematik - Analysis, Note: 1,3, Johannes Gutenberg-Universität Mainz (FB Mathematik, Physik und Informatik), Sprache: Deutsch, Abstract: Die vorliegende Arbeit befaßt sich mit der Anwendung der Theorie vektorwertiger Distributionen auf das Cauchy-Problem (Anfangswertproblem).Diese Problemstellung ist motiviert durch die Tatsache, daß eine partielle Differentialgleichung wie beispielsweise die Wärmeleitungsgleichung als vektorwertige gewöhnliche Differentialgleichung aufgefaßt werden kann.Die vorliegende Arbeit befaßt sich zunächst eingehend mit den Eigenschaften vektorwertiger Distributionen. Als Zugang zur Theorie vektorwertiger Distributionen wurde hier der Ansatz von Hector O. Fattorini gewählt. Die Besonderheit dieses Ansatzes besteht darin, daß als Testfunktionen nur Funktionen auf dem Raum der reellen Zahlen oder auf Teilmengen dieses Raumes betrachtetwerden. Dies ermöglicht den Beweis des Strukturtheorems, welches besagt, daß eine Distribution lokal stets als höhere Ableitung einer stetigen Funktion aufgefaßt werden kann. Dieses Resultat ist fundamental für die folgende Theorie, da es die Rückführung von Aussagen über Distributionen auf Aussagen über stetige Funktionen ermöglicht.Eine besondere Schwierigkeit bereitet der Begriff der Stetigkeit in Distributionenräumen. Da diese im allgemeinen nicht metrisierbar sind, ist Stetigkeit nicht äquivalent zu Folgenstetigkeit. Diese Vorbetrachtung motiviert die Definition von Netzen, mit Hilfe derer eine äquivalente Charakterisierung topologischer Stetigkeit möglich ist.

Liegt der Raum der Anfangswerte u0, zu denen klassische Lösungen existieren, dicht in E, und hängen die Lösungen stetig von den Anfangswerten ab, so nennt man das Cauchy-Problem wohlgestellt (f¨ur die exakte Definition vgl. S.94, Definition 5.2.1). Distributionen als Lösungen von Anfangswertproblemen ...